Учение Живой Этики и математика

[DEI]

На самом деле, важная тема.

Сообщение от Эльдар

И эту Бесконечность нельзя помыслить математически, даже используя язык пределов?

Надо сослаться на Е.П.Блаватскую.
Комментарии к ТД.

Выйти за рамки первого проявления и высшей причинности
довольно трудно. Чтобы получить хотя бы поверхностное представление о последней, нужно напрячь весь наш ограниченный интеллект. Как бы мы ни старались, мы никогда не сможем, в силу своей ограниченности, приблизиться к Абсолюту, который является для нас, на нашем теперешнем уровне развития, всего лишь логическим предположением, хотя оно и берет начало бессчетные тысячелетия назад…

Тем не менее, сказанное о Пространстве, как о «Неведомой Первопричине», заслуживает упоминания.
«Это неведомое нечто», признанное таковым и отождествленное с первичным воплощением Простого Единства, невидимо и неощутимо (как абстрактное пространство, мы согласны) и, будучи невидимо и неосязаемо, оно непостижимо. И эта непостижимость ввела в заблуждение, заставив предположить, что оно является просто Пустотою, лишь способностью к восприятию. Но, будучи рассматриваемо даже, как абсолютная пустота, Пространство должно быть признано или самосущим, бесконечным и вечным, или же имевшим причину во вне, за собою и за пределами себя.

(ТД)

Сообщение от Эльдар

Можно ли в таком случае доказать невозможность этого строго логически, как считаете?

Думаю, что можно приблизиться ... но проблема тоже Бесконечна.
(На этот раз - в умах людей, которые вынуждены проходить бесконечный путь в постижении "ТОГО".)
Но одна из идей - в работах Кантора и в теориях об актуальной Бесконечности. Об этом - речь в этом моем изложении.
Вторая, которую хотелось бы предложить на обсуждение, если не против - с помощью теорем К.Геделя "о неполноте". Вы знакомы с ними ?

Сообщение от Эльдар

Подумалось сейчас, что неплохо было бы ознакомиться с работами Георга Кантора на эту тему... Где-то, кажется, я читал, что он этими вопросами серьезно занимался.
...
Даже в нашей математике есть термин из области трансфинитных о такой бесконечности.
.. можно чуть подробнее об этом ?

Надеялся, что Вы знаете больше меня по этому вопросу …
Но если больше некому, то даю ссылку на простую статью о трансфинитных числах.
http://ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm
Речь идет о Канторе.

Таким образом, каждое трансфинитное число содержит внутри себя бесконечность. Но оно остается упорядоченным множеством, и, более того, может быть сравниваемо по величине с другими «бесконечностями».
Известно сравнение Кантора континуумов и множеств. Например, сопоставление точек плоскости и прямой. Рациональные числа (дроби) и целые.

Ближе всего к вопросу стоят понятия актуальной и потенциальной бесконечностей:
Трансфинитные числа в известном смысле суть сами новые иррациональности. Действительно, по–моему, лучший метод определения конечных иррациональных чисел совершенно подобен, я готов сказать, в принципе тот же самый, что и мой описанный выше метод введения трансфинитных чисел. Можно безусловно сказать: трансфинитные числа стоят или падают вместе с конечными иррациональными числами. По своему внутреннему существу они подобны друг другу, ибо как те, так и другие суть определенно отграниченные образования или модификации актуально бесконечного”
(http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/2_96/03_kor.htm)

А вот неокритика канторовского подхода. http://inwar.ru/01/04/1-3.html
Отчасти в ней можно почерпнуть полезные идеи, но интуиция говорит, что истина посередине. Есть аналогии, подтверждающие право трансфинитных на существование.
Вот, в последнем пункте они пытаются доказать «паралогичность» построения ряда трансфинитных Алеф-0, Алеф-1. Но именно Тайна должна быть «паралогичной», металогичной, трансцендентальной, выходить за пределы логики. И никакое исследование не может быть завершенным. Все-таки, осмелюсь выдвинуть предположение, что эта «паралогичность» не есть свойство канторовского подхода, но физика Вселенной, Числа.

Была более точная ссылка, но сейчас потерял ее. Там шла речь о различении Кантором множеств от совокупностей. То есть, качеств бесконечностей и их иерархий столько же, сколько аспектов сознания. В Единой Актуальной Бесконечности.
Вроде бы, это в статье http://www.philosophy.ru/library/math/bytc_kantor.html

«Под “многообразием” или “множеством” я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона (курсив наш — авт.), и таким образом я думаю определить нечто, родственное платоновскому eЌdoV или „dљa, а также тому, что Платон... называет miktТn. Он противопоставляет его Ґpeiron’ у, т.е. безграничному, неопределенному, называемому мною несобственно бесконечным, равно как и peraV’у, т.е. границе, и называет его упорядоченной смесью этих последних»

В связи с этим, не менее интересен, Эльдар, думаю, будет вопрос о неполноте логики вообще. Помните теоремы К. Геделя ?

С уважением,

[Эльдар]

Здравствуйте, DEI. Спасибо за обстоятельный ответ. Ссылки Ваши я посмотрю, но чуть позже, поскольку пока не имею возможности.

Сообщение от DEI

Вторая, которую хотелось бы предложить на обсуждение, если не против - с помощью теорем К.Геделя "о неполноте". Вы знакомы с ними ?

Мат. логика была у нас на втором курсе, теоремы Гёделя лишь упоминались, но что-то я помню), можно сказать "знаком". Можно и ближе познакомится, при необходимости.

Ближе всего к вопросу стоят понятия актуальной и потенциальной бесконечностей.

Об актуальной и потенциальной бесконечностях кое-что читал у П.Флоренского, постараюсь привести здесь строки из его работы.

В связи с этим, не менее интересен, Эльдар, думаю, будет вопрос о неполноте логики вообще.

Интересен, действительно. А еще можно обсудить логику вообще, то есть может быть нужна вообще другая логика, более приближенная к реальности, которая не есть "черно-белое, застывшее", но "цветное, с градациями отттенков, динамичное"

[Эльдар]

Тайджас писал:

Помимо уже поставленных в начале данной темы вопросов, предлагаю для обсуждения следующий.
В математике известна теорема Островского, согласно которой у поля рациональных чисел существует лишь два существенно различных пополнения(расширения) - до поля вещественных чисел и до поля р-адических чисел(р=2,3,5,7,... - простое число). Другого не дано. Есть математики, считающие этот факт очень важным<...>

Для 2-адических чисел нашлось важное и интересное применение: они применяются в описании процесса трансляции, происходящего в рибосоме.
Грубая схема такова: на вход рибосомы поступает молекула РНК(после процесса транскрипции, т.е считывания нужной информации с молекулы ДНК), состоящая из нуклеотидов, а также поток аминокислот. Математически, нуклеотид -- это буква из алфавита {А, У, Г, Ц}. Таким образом, молекула РНК -- это длинное слово в этом алфавите. А аминокислота, математически, -- это буква в другом, более широком алфавите(из 20+1=21 буквы). В рибосоме происходит процесс образования белка из аминокислот по коду, заданному молекулой РНК. Этот процесс называют трансляцией, и с математической точки зрения - это отображение из троек нуклеотидов, составляющих определённый участок поступившей РНК, в аминокислоты. Тройки нуклеотидов называют кодонами. Всего может быть 4*4*4=64 различных кодона.

Закодируем нуклеотиды по правилу

А=00, Г=01, У=10, Ц=11

и составим таблицу 8х8 из 64 кодонов по схеме:
____________________________
Пусть с1с2с3 - кодон., с2 ~ x0y0, c1 ~ x1y1, c3 ~ x2y2(x0y0 - это код, соответствующий с2, и т.д.)
Cтавим этому кодону пару чисел (x,y) по правилу

x=x0+2*x1+4*x2, y=y0+2*y1+4*y2.

x и y лежат между 0 и 7. Пара (x,y) задаёт положение кодона с1с2с3 в таблице.
_____________________________

Например, верхний левый угол 2х2 этой таблицы выглядит так:

ААА ААГ

ААУ ААС

Теперь на этой таблице введём 2-адическую метрику:

d(c1c2c3, e1e2e3) = max(|x-x'|, |y-y'|), где c1c2c3 ~ (x,y), e1e2e3 ~ (x',y').

Так вот, оказывается, что кодоны, отвечающие одинаковым аминокислотам(т.е. прообразы одинаковых аминокислот; т.н. "вырождение"), расположены близко в этой 2-адической метрике.
Кроме того, если построить соответствующую трансляции таблицу, то будет видна еще и опредённая симметрия этой таблицы. А также будет видно, что т.н. гидрофобные аминокислоты образуют 2 кластера -- кластеризуются в 2 шара(в 2-адической метрике).

Всё вышеизложенное -- это часть самых последних открытий(2007) в этой области.

[Эльдар]

Сообщение от Тайджас

Об актуальной и потенциальной бесконечностях кое-что читал у П.Флоренского, постараюсь привести здесь строки из его работы.

Некоторые понятия из учения о бесконечности
(П. Флоренский, из разъяснений к "Столпу...", перепечатано на современном русском языке)

Бесконечный, бесконечность приходится слышать очень часто в обыкновенном разговоре; но стоит только попросить объяснения этих слов, чтобы встретить недоумевающий взгляд. Однако, если в широкой публике - только непонимание, то среди людей, занимающихся умственной работой, на этот счёт часто бывает извращённость в понимании и даже полная путаница. Очень сильные и тонкие умы часто не бывали свободны от неясностей и недоговорок в вопросе о понятии бесконечности. Недостаток места не позволяет, к сожалению, привести ряд поучительных примеров, но читатель из дальнейшего изложения и сам сообразит, на кого тут можно было бы сослаться.
Впрочем, затруднения лишь отчасти и даже в очень незначительной части зависят от отвлечённости вопроса; главная причина тут - в тенденциозности мышления, в нежелании или неумении смотреть на объект исследования прямо. Приступается к изучаемому с уверенностью, что оно уже известно; и мнимое знание, - по слову Г. Кантора, "horror infiniti", царящий в обществе - даёт себя знать.
Главные ошибки, которые делаются сплошь и рядом в рассуждениях о бесконечном, появляются вследствие пренебрежения основной и совершенно-элементарной дистинкцией актуальной и потенциальной бесконечности. Поэтому мне придётся подробнее, чем хотелось бы, остановиться на этом подразделении. Пока, впрочем, будет дано лишь предварительное определение бесконечности; на нём мы основываться не станем, так как оно не упирается на достаточно простые понятия, хотя само по себе и верно.
Всякий quantum, или, - как предлагает говорить Н.И. Лобачевский, - всякое "коликое", по самому своему определению, может быть двояким. Оно может быть данным и неизменно и твёрдо установленным, вполне определённым, и тогда представит из себя то, что носит название постоянного или константы. Оно может также не быть определённым, может меняться, становясь больше или меньше. В этом последнем случае quantum носит название переменного. Так вот, актуальная бесконечность есть частный случай постоянного, а потенциальная - переменного "коликого", и в этом их принципиальное и глубочайшее различие - если угодно, их существенная противоположность. Разъясним это частнее.
Пусть у нас есть переменное, и пусть оно меняется не каким-нибудь, а определённым способом, - так именно, чтобы оно становилось больше всякого постоянного конечного "коликого" того же рода, или меньше. В каждом состоянии это переменное конечно; но в нашем понимании совокупность этих состояний отличается от совокупности каких-либо произвольно подобранных состояний. В этом смысле мы говорим, что наш quantum есть потенциальная бесконечность, потенциальная - в виду того, что он может стать более всякого другого quantum'a. Таким образом, потенциальная бесконечность не обозначает какого-либо quantum'a, в себе взятого, а только особый способ рассмотрения quantum'a, именно, в связи с характером его специального изменения. Потенциальная бесконечность, по словам Г. Кантора, не есть идея, а - только вспомогательное понятие; оно - ens rationis, по счастливому выражению Штёкля. Одним словом, потенциальная бесконечность есть то самое, что древние называли [апейрон], схоластики - syncategorematice infinitum, или indefinitum, новые философы - дурной или, точнее, простой бесконечностью, schlechte Unendlichkeit.
Итак, это, никогда не заканчиваемое, потенциальное, бесконечное есть переменное конечное количество, quantum, возрастающий над всеми границами, или, наоборот, падающий ниже всякой границы. Таковы, например, дифференциалы, охарактеризованные уже Лейбницем, именно за это свойство, как чистые фикции. В виду этого ясно, что говорить о законченной потенциальной бесконечности, - что, по словам Кантора, делал Фонтенелль - есть contradictio in terminis.
К несчастью, бесчисленное множество, - легион - авторитетов всех специальностей усвоило себе эту простую истину черезчур крепко и, забыв о слове потенциальная, начало разными голосами заявлять, что "законченная бесконечность есть нечто нелепое". Отсюда вытекает старинный афоризм: "Numerus infinitus repugnat"; отсюда же утверждение Тонджиорджи: "Multido actu infinita repugnat" и другие подобные. Этот, - вполне невинный, повидимому - пропуск породил не одну грубую ошибку, и на ней, между прочим, держатся и первые "антиномии чистого разума" у Канта. На этом же пропуске, как увидим, основаны так называемые аргументы против законченной бесконечности и многие соображения позитивизма.

[Эльдар]

(продолжение)

Рассмотрим теперь другой род бесконечности, - бесконечность актуальную. С этой целью мы возвращаемся к нашему исходному пункту, к понятию quantum'a, именно, quantum'a постоянного, и содержание этого понятия константы обогатим новым признаком. Некоторая константа может быть такова, что она стоит в ряду других констант того же рода, т.е. больше одних конечных констант и меньше других. Тогда она и сама будет конечной. Но может случится, что она не стоит в ряду других постоянных, потому что она больше всякой конечной константы, как бы великой мы её ни взяли. Тогда мы скажем, что наш quantum есть актуальная бесконечность, бесконечность in actu, actualiter, а не только in potentia.
Так, например, в диалоге "Бруно" Шеллинг блестяще вскрывает, что каждое понятие есть бесконечность, потому что объединяет собою множество представлений, которое не является конечным; но так как объём понятия, по существу дела, вполне определён и дан, то эта бесконечность не может быть ничем иным, кроме актуальной бесконечности. Всякое суждение, всякая теорема носят в себе актуальную бесконечность, и в этом - вся сила логического мышления, как указал ещё Сократ.
Возьмём примеры более конкретные. Например, обращаясь к пространству, мы можем утверждать, что все точки внутри некоторой замкнутой поверхности образуют множество актуально бесконечное. В самом деле, каждая из них вполне определена, значит и все - тоже вполне определены; но однако число их превосходит всякое из чисел ряда: 1,2,3,...,n,... и больше каждого из этих чисел. В этом же смысле мы можем сказать, что могущество Божие актуально-бесконечно, потому что оно, будучи определённым(в Боге нет изменения), в то же время больше всякого конечного могущества.
Очень ярко выражант мысль об актуальной бесконечности автор книги "О небесной иерархии", книги, приписываемой св. Дионисию Ареопагиту: "И то, по моему мнению, - говорит он, - достойно тщательного размышления, что говорит писание об Ангелах, то есть, что их тысячи тысяч и тьмы тем, умножая на самих себя числа, у нас самые высшие. Через сие оно ясно показывает, что типы небесных существ для нас неисчислимы; потому что бесчисленно блаженное воинство премирных умов. Оно превосходит малый и недостаточный счёт употребляемых нами чисел, и точно определяется одним премирным их разумением".
В здесь рассмотренном понятии актуальной бесконечности не трудно узнать то, что у древних было известно под именем [афорисменон(греч.)], у схоластиков - под именем kategorematice infinitum, у новых философов - положительной, собственной бесконечности. Как выражается Гёте, "это - замкнутая бесконечность, более соответствующая человеку, чем звёздное небо", причём последнее, конечно, разумеется именно как некоторая возможность устремляться всё далее и далее, никогда не будучи в состоянии произвести синтез и успокоится на целом.
Тут мы сталкиваемся с новым соображением. Чтобы была возможна потенциальная бесконечность, должно быть возможно беспредельное изменение. Но, ведь, для последнего необходима "область" изменения, которая сама уже не может меняться, т.к. в противном случае пришлось бы потребовать область изменения для области и т.д. Она, однако, не является конечной и, следовательно, должна быть признана актуально-бесконечной. Следовательно, всякая потенциальная бесконечность уже предполагает существование актуальной бесконечности, как своего сверхконечного предела; всякий бесконечный прогресс уже предполагает существование бесконечной цели прогресса; всякое совершенствование бесконечное требует признания бесконечного совершенства. Отрицающий актуально-бесконечное в каком бы то ни было отношении тем самым отрицает и потенциальную бесконечность в том же отношении, и позитивизм несёт в себе элементы собственного разложения, - так сказать, с позитивизмом происходит самоотравление продуктами его же деятельности.

[Эльдар]

(окончание)

По раскрытому выше определению актуальной бесконечности можно заключить, что такая бесконечность может быть мыслима в двух модификациях. Во-первых, будучи более всякого конечного quantum'a, она сама может оказаться не имеющей другого quantum'a, тоже бесконечного, который был бы больше её; другими словами, тут она оказывается неспособной быть меньше чего-либо другого. Это - актуальная бесконечность, не способная к увеличению, абсолютный максимум; как вообще, так и у Г.Кантора, он называется Absolutum. Во-вторых, - и этого не замечали говорившие о бесконечности- , из определения актуальной бесконечности вытекает возможность второго её видоизменения. Актуальная бесконечность, именно, может тут иметь над собою другие quanta, большие её самой; тогда она будет способна к увеличению, будет увеличиваемою актуальною бесконечностью. Чтобы избегнуть раз и навсегда путаницы слов и длиннот, Кантор даёт ей название сверх-конечности, Ueberendlichkeit.
От этих формальных соображений перейдём к реальным. С актуальной бесконечностью мы сталкиваемся или, по крайней мере, можем надеяться на столкновение в трёх различных областях. Во-первых, поскольку это актуально-бесконечное реализовано в высшем совершенстве, во вполне независимом, вне-мировом бытии, одним словом - in Deo sive natura naturante, причём последнее выражение Кантор понимает не в смысле пантеизма, а в том первоначальном смысле, который придали ему Фома Аквинский и другие богословы. Здесь бесконечное является абсолютным максимумом и есть то самое, что ранее было названо Absolutum или абсолютной бесконечностью. Во-вторых, актуально-бесконечное может быть предположено in concreto, в зависимом мире, в твари, in natura naturata. Тут Кантор называет её Transfinitum. Наконец, в-третьих, актуально-бесконечное может быть in abstracto, в духе, поскольку он имеет возможность познавать Transfinitum в природе и, до известной степени, Absolutum в Боге. В этом последнем случае бесконечность получает название символов бесконечного. В частности, если дело идёт именно о познании Transfinitum, эти символы получают название трансфинитных чисел и трансфинитных типов. Два последних вида бесконечности являются бесконечностями увеличиваемыми.