Вопрос об умножении отрицательных чисел

АлексУ · 03.06.2010, 10:53

Цитата:

Сообщение от А.И.

Приветствую всех! Данная статья была найдена на просторах интернета, она достаточно объёмна в плане текста, но может оказаться интересной кому близка математика.
...

Цитата:

От парадокса в умножении чисел до …

Автор: Александр Махов
М. 2004 г.

...
1. Парадокс в операции умножения (доказательство №1)
С тех пор, как Коши, встретившись с трудностями при решении уравнений 3-й степе-ни, предложил использовать мнимые числа, в математической среде не утихают споры по поводу правомерности такого предложения.
Но мнимое число никогда бы не появилось, не будь отрицательных чисел. И мы покажем, что предложение Коши было вынужденным, что эта проблема была уже запро-граммирована ранее и скрытно возникла еще при появлении отрицательных чисел как тако-вых.
...
• классическая операция умножения 2-х отрицательных чисел не соответствует ба-зовой операции сложения;
• классическая операция возведения отрицательного числа в степень не соответст-вует базовой операции сложения.
Рассматривая результаты этих операций, можно сделать и предварительный вывод: ре-зультат перемножения отрицательных чисел или возведения отрицательного числа в степень должен иметь отрицательный знак.
...
Но! N=x•y – функция геометрического представления площади, тогда операцию умножения необходимо представить, используя 2 оси координат: X и Y, а результат N будет разме-щаться в одном из 4-х квадрантов.

Отсюда:
x≥0, y≥0 N≥0 (50%
x<0, y≥0 N≥0 (вариантов)
x<0, y<0 N<0 (50% На примерах: 2•4=8; (-2)•4=8;
x≥0, y<0 N<0 вариантов) (-2)•(-4)=-8; 2•(-4)=-8

Из процентного соотношения вариантов видно – равновесие знаков результатов дос-тигнуто, а результат умножения 2-х чисел располагается в одном их 4-х квадрантов 2-х перпендикулярных осей X и Y.
Итак, используя в качестве доказательства базовый принцип операции сложения чи-сел, можно подвести итоги.

Основные выводы:
1. Операция умножения 2-х чисел переместительным свойством не обладает.
2. При умножении 2-х чисел знак произведения определяется знаком 2-го сомножителя.
...

Статья действительно интересная, есть над чем "поломать голову"...
Пока подробно разобрался с докозательством №1. Есть несколько замечаний.

1. Смысл умножения на отрицательное число.

Цитата:

Сообщение от А.И.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Когда речь идёт о символе типа n*(-m), где m и n - натуральные числа, умножение определяется через сумму(n раз по (-m)), это да. Но когда рассматривается символ вида (-n)*(-m), где m и n натуральные, непонятно, где здесь сумма(не бывает отрицательного числа слагаемых). Определение того, что такое (-n)*(-m) даётся в известном смысле независимо.

Потому что неопределена операция умножения и в класическом случае мы ей можем крутить как хочется, то n прибавляем m раз, то m прибавляем n раз, тут не важно главное что - * + = - и - * - = +, ну а как в этом случае (-n)*(-m) складывается тоже непонятно, поэтому в обоих случаях как бы независимо используется модуль только в первом он используется ещё и над всем результатом, чтоб наверняка, а во втором только над значением числа слагаемых.

Умножение числа А на 2 - есть сумма двух чисел А. Умножение числа А на n - есть сумма n чисел А.
А каков смысл умножения числа А на отрицательное число, например -2?
В классической математике этот смысл прост и понятен - это есть сумма двух чисел А, взятых с противоположным знаком.
Т.е., если А - положительное число, то умножая его на -2 мы складываем два отрицательных числа -А и получаем отрицательную сумму (произведение) 2*(-А); если число А - отрицательное, тогда мы в результате получаем сумму двух положительных чисел (-А).
А каков смыл, в базисе операции сложения, умножения на отрицательное число в новой предлагаемой модели?
Особого смысла я не вижу - постулируется, что умножение на отрицательное число тождественно умножению на такое же, но положительное число: 2*4=(-2)*4=8. Т.е. постулируется избыточность информации - а значит знак перед множителем (левым) можно игнорировать, т.е. не принимать во внимание. А что это значит? Это значит, что в новой модели можно безболезненно запретить умножение на отрицательный множитель (левый - поскольку в этой модели левый и правый множители неравноправны). И, как следствие, в этой модели понятие "квадрат отрицательного числа" - не имеет смысла. А значит не имеет смысла и корень квадратный из -1.
Копнем глубже. Отчего происходит это отождествление знаков левого множителя? От произвола - от произвольности выбора правила умножения. Ведь правило "знак произведения двух чисел определяется знаком правого сомножителя" - произвольно и не требуется логикой; мы с такой же легкостью могли бы определять знак произведения знаком левого множителя.
Это не есть ошибка. Ведь и в классической математике правила умножения определяются некими условными соглашениями: однознаковые множители в произведении дают +, а разнознаковые дают -. Но в классической математике это условное соглашение логично и красиво - а в новой модели это соглашение есть результат произвольного выбора из двух равноправных вариантов. Это не есть ошибка - это есть недостаток модели с эстетической точки зрения. А для меня в математике эстетическая красота построения имеет очень большое значение.

Вы говорите о произведении двух чисел как площади ограничиваемого ими прямоугольника - в одной из четвертей координатной плоскости. Но ведь этих прямоугольника четыре. И как Вы определяете - какие из них "положительные", а какие "отрицательные"? "Положительные" те, что правее оси Y, или те, что выше оси X? Опять произвольный выбор из равноправных вариантов...
И к тому же, заметьте, это четыре разных прямоугольника. Т.е., по логике, Вам бы нужно определять четыре разных результата перемножения двух чисел. Например, 2*(-4)=(-8 ), а (-2)*(-4)=(-8") - и при этом первое (-8 ) не равна второму (-8"). И тогда корень квадратный можно извлечь, например, из (-1") - но нельзя извлечь из (-1).

2. Нарушение дистрибутивности.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Это приводит, например, к тому, что и дистрибутивный закон перестаёт выполняться:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = (-1)+(-1) = (-2) => 0 = (-2).

Как известно, определение (-1)*(-1)=1 (а не (-1)*(-1)=(-1)) было введено именно с целью сохранить дистрибутивность, которой обладают операции сложения и умножения положительных чисел, т.е. свойство (a+b)*c=a*c+b*c.

Цитата:

Сообщение от А.И.

Да, тут по старой привычке всё на + меняю

В этом случае действительно будет -2, но дело в том что получается тут была произведена неявная перемена мест слагаемых, или замена знака одного из них, хотя это конечно можно было делать в классическом случае - т.е. - (1-1)=(1+(-1)) тут у первого множителя знак остался положительным, у второго знак стал отрицательным а операция изменилась на +, хотя поидее у каждой из едениц знаком то является +, таким образом в новом методе это выглядело бы примерно так - (1-1)*(-1) = (1)*(-1)-(1)*(-1) = -1-(-1) = 0

Можно рассмотреть другой пример, вытекающий из простых соображений.
В классической математике уравнение х*х-1=0 имеет два решения - 1 и (-1). Т.е. функция х*х-1 обращается в 0 в двух точках. Это наглядно следует из разложения квадратичного уравнения на линейные множители: х*х-1=(х+1)*(х-1)=0.
А что будет в новой модели, если вместо х подставить значение (-1)?
(-1+1)*(-1-1)=(0)*(-2)=0.
А теперь раскроем скобки:
(-1+1)*(-1-1)=(-1)*(-1)+(-1)*(-1)+1*(-1)+1*(-1)=-4
Т.е. 0=-4...

3. Автор непоследователен в своих построениях относительно своей же критики. Он пишет: "Но мнимое число никогда бы не появилось, не будь отрицательных чисел. И мы покажем, что предложение Коши было вынужденным, что эта проблема была уже запрограммирована ранее и скрытно возникла еще при появлении отрицательных чисел как таковых". Но в своих построениях новой математической модели он не отказывается от отрицательных чисел, - а пытается решить проблему новыми правилами умножения отрицательных чисел.
Почему бы автору не запретить отрицательные числа вообще? и ввести вместо этого, например, коммутативность операции вычитания? т.е. а-в=в-а. Конечно, при этом возникнут другие проблемы, и это будет сужением математического аппарата - но зато сохранится логика его критического подхода.

А вообще, мне нравится теория комплексных чисел! Она красивая...
Особенно, если рассматривать ее в форме пространства упорядоченных пар чисел (а,в), или векторов на плоскости.
Во-первых, оно содержит в качестве своего подпространства пространство вещественных чисел - все пары вида (а, 0).
Во-вторых, в ней легко и изящно решается проблема отрицательных квадратов, в частности, решения уравнения х*х=-1: (0,1)*(0,1)=(0*0-1*1, 0*1+1*0)=(-1,0)=-1
В-третьих, ясен и красив смысл умножения упорядоченной пары чисел на отрицательное вещественное число n - это есть изменение направление вектора на противоположный, плюс увеличение его длины на велечину n, т.е. сложение n раз длины исходного вектора.
Наконец, пространство комплексных чисел, или упорядоченных пар вещественных чисел, есть нетривиальное расширение пространства вещественных чисел - а значит обогащение математического аппарата. И выход в более высокое измерение! Т.е. если в качестве исходных чисел в паре мы рассматриваем одномерные точки прямой - то мы получаем пространство двух измерений. А если в качестве исходных чисел в паре мы возьмем точки трехмерного пространства, имеющие три пространственные координаты каждая - тогда мы получим уже простую и удобную математику четырехмерного пространства. В котором в качестве четвертой координатной оси можно рассматривать время. Перспективы - грандиозные!

Эльдар · 03.06.2010, 17:21

Цитата:

Сообщение от АлексУ

А вообще, мне нравится теория комплексных чисел! Она красивая...

+1. Как и комплексный анализ в целом. Здесь налицо простота, красота и польза(как для теории, так и для практики).

А соотношения типа эйлеровского exp(i*pi)=-1 побуждают глубоко задуматься.

А.И. · 04.06.2010, 15:37

Цитата:

Сообщение от АлексУ

Умножение числа А на 2 - есть сумма двух чисел А. Умножение числа А на n - есть сумма n чисел А. А каков смысл умножения числа А на отрицательное число, например -2? В классической математике этот смысл прост и понятен - это есть сумма двух чисел А, взятых с противоположным знаком. Т.е., если А - положительное число, то умножая его на -2 мы складываем два отрицательных числа -А и получаем отрицательную сумму (произведение) 2*(-А); если число А - отрицательное, тогда мы в результате получаем сумму двух положительных чисел (-А). А каков смыл, в базисе операции сложения, умножения на отрицательное число в новой предлагаемой модели? Особого смысла я не вижу - постулируется, что умножение на отрицательное число тождественно умножению на такое же, но положительное число: 2*4=(-2)*4=8. Т.е. постулируется избыточность информации - а значит знак перед множителем (левым) можно игнорировать, т.е. не принимать во внимание. А что это значит? Это значит, что в новой модели можно безболезненно запретить умножение на отрицательный множитель (левый - поскольку в этой модели левый и правый множители неравноправны). И, как следствие, в этой модели понятие "квадрат отрицательного числа" - не имеет смысла. А значит не имеет смысла и корень квадратный из -1. Копнем глубже. Отчего происходит это отождествление знаков левого множителя? От произвола - от произвольности выбора правила умножения. Ведь правило "знак произведения двух чисел определяется знаком правого сомножителя" - произвольно и не требуется логикой; мы с такой же легкостью могли бы определять знак произведения знаком левого множителя. Это не есть ошибка. Ведь и в классической математике правила умножения определяются некими условными соглашениями: однознаковые множители в произведении дают +, а разнознаковые дают -. Но в классической математике это условное соглашение логично и красиво - а в новой модели это соглашение есть результат произвольного выбора из двух равноправных вариантов. Это не есть ошибка - это есть недостаток модели с эстетической точки зрения. А для меня в математике эстетическая красота построения имеет очень большое значение.

Так вот интересно, на чём же основана логика классического соглашения? Описанное - понятно, красиво, удобно - согласен, но в чём именно логика - ответа найти пока не удалось.

Цитата:

Вы говорите о произведении двух чисел как площади ограничиваемого ими прямоугольника - в одной из четвертей координатной плоскости. Но ведь этих прямоугольника четыре. И как Вы определяете - какие из них "положительные", а какие "отрицательные"? "Положительные" те, что правее оси Y, или те, что выше оси X? Опять произвольный выбор из равноправных вариантов...
И к тому же, заметьте, это четыре разных прямоугольника. Т.е., по логике, Вам бы нужно определять четыре разных результата перемножения двух чисел. Например, 2*(-4)=(-8 ), а (-2)*(-4)=(-8") - и при этом первое (-8 ) не равна второму (-8"). И тогда корень квадратный можно извлечь, например, из (-1") - но нельзя извлечь из (-1).

Понимаю, но эти дальнейшие произвольные правила всего лишь следствия обнаруженного противоречия, т.е. о них можно разсуждать если возникло согласие с основной идеей, в противном случае даже смысла в этом нет, но на их основании уже ставить под сомнение правильность этой основной идеи думаю не совсем верно, возможно там действительно не всё учтено и даже можно на 100% сказать что с делением уж точно не всё учтено. Выбор знака как видно определяется относительно У, да это достаточно произвольно, можно и относительно Х, ну можно вообще каждой четверти свой знак присвоить, ведь эти знаки поидее не имеют отношения к операциям, а были совмещены видимо для удобства.

Цитата:

И к тому же, заметьте, это четыре разных прямоугольника. Т.е., по логике, Вам бы нужно определять четыре разных результата перемножения двух чисел. Например, 2*(-4)=(-8 ), а (-2)*(-4)=(-8") - и при этом первое (-8 ) не равна второму (-8"). И тогда корень квадратный можно извлечь, например, из (-1") - но нельзя извлечь из (-1).

Если 4 разных тут можно уже и без минуса в одном случае обходиться, и результаты эти будут разные по значению но не по знаку, но квадратный корень можно извлечь из чего угодно, Вы же его умудряетесь как-то извлекать в мнимых числах из того из чего поидее его извлечь нельзя, в этом случае -8 это такое же обыкновенное число, называющееся отрицательным постольку поскольку так уж исторически сложилось, что его противоположность называется положительным. Но в этом наверно особой необходимости нету. Тут вопрос имеем ли мы право использовать к, по сути тем же числам только идущим в другом направлении относительно 0 какие-то особые правила при вычислении? Ведь мы работаем пока с 2 измерениями, но как бы из третьего и смотреть мы можем с разных углов зрения - будет ли в таком случае иметь значение где + где - , Y или Х?

Цитата:

Можно рассмотреть другой пример, вытекающий из простых соображений.
В классической математике уравнение х*х-1=0 имеет два решения - 1 и (-1). Т.е. функция х*х-1 обращается в 0 в двух точках. Это наглядно следует из разложения квадратичного уравнения на линейные множители: х*х-1=(х+1)*(х-1)=0.
А что будет в новой модели, если вместо х подставить значение (-1)?
(-1+1)*(-1-1)=(0)*(-2)=0.
А теперь раскроем скобки:
(-1+1)*(-1-1)=(-1)*(-1)+(-1)*(-1)+1*(-1)+1*(-1)=-4
Т.е. 0=-4...

Естественно ничего не получится если брать значения которого в новом методе бы не получилось при решении этого уравнения, т.к. там будет только одно решение, и оно не будет отрицательным.

Добавлено через 4 минуты

Цитата:

Сообщение от DEI

- тут важна польза и простота.

и точность.

Эльдар · 04.06.2010, 16:55

Цитата:

Сообщение от А.И.

Так вот интересно, на чём же основана логика классического соглашения? Описанное - понятно, красиво, удобно - согласен, но в чём именно логика - ответа найти пока не удалось.

Ответ уже дан. Отрицательные числа были введены, чтобы обеспечить свободу в выполнении операций сложения/вычитания. Закон их умножения был выбран именно таким из желания сохранить все предыдущие свойства этой операции, в т.ч. дистрибутивность умножения по сложению. Это определение работает в теории и согласуется с практикой(в которой используются обычные числовые системы; т.е.с такой практикой где происходит сложение/умножение привычных нам объектов, а не таких, для которых нарушаются какие-то привычные аксиомы, как, например, в случае соединения воды и сильной кислоты, перемножения матриц, и т.д., - где нарушается коммутативность, etc).
Попробуйте теперь привести конкретный пример пользы введённого Маховым определения. Если определение полезное, то примеры должны быть.

А.И. · 06.06.2010, 23:38

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Ответ уже дан. Отрицательные числа были введены, чтобы обеспечить свободу в выполнении операций сложения/вычитания. Закон их умножения был выбран именно таким из желания сохранить все предыдущие свойства этой операции, в т.ч. дистрибутивность умножения по сложению. Это определение работает в теории и согласуется с практикой(в которой используются обычные числовые системы; т.е.с такой практикой где происходит сложение/умножение привычных нам объектов, а не таких, для которых нарушаются какие-то привычные аксиомы, как, например, в случае соединения воды и сильной кислоты, перемножения матриц, и т.д., - где нарушается коммутативность, etc).

В этом плане как раз более менее понятно, думал может была какая другая логика, подтверждающая правильность такого подхода не просто со стороны удобства, а как действительно стойкий математический закон.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Попробуйте теперь привести конкретный пример пользы введённого Маховым определения. Если определение полезное, то примеры должны быть.

Выгода в использовании нового подхода, если он действительно более верен должна быть явной, это и те области о которых Вы говорите, когда нарушаются какие-то привычные аксиомы, может быть в создании высокотехнологичных аппаратов, но так же в более привычных областях – расчётов координат частиц, или наоборот макрообъектов, да и везде где можно обойтись без кардинальных издержек при перемене метода.