Геометрия окружности

[tayna]

Гаус доказал, что с помощью циркуля и линейки можно разделить окружность
на такое простое число N равных частей, которое выражается формулой
N =(2^2^n) + 1
где n — натуральное число или нуль.
Вот несколько примеров:
1) n = 0, N = 3;
2) n = 1, N = 5;
3) n = 2, N = 17;
4) n = З, N = 257;
5) n = 4, N = 65 537 и т. д.

Невозможно циркулем и линейкой построить правильные многоугольники со следующим числом сторон:
7; 9; 11; 13; 14;18; 19; 21; 22; 23; 25; 27; 28;...
Данные многоугольники можно построить лишь приблизительно.
Погрешность построения правильного 7-угольника 1%.(Рис. приведен выше)

Сторона правильного многоугольника: a = 2R·sin 180°/n;

Расчетная
а7=2R*sin(25.71)=2R*0.4338837

[tayna]

Построение правильных вписанных в окружность многоугольников с любым числом сторон.
Один из практических методов, позволяющий построить правильный вписанный в окружность многоугольник с любым числом сторон известен как приём Биона .

Пусть дана окружность и АВ - её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.(На рис. приведено построение стороны правильного семиугольника.) При n=5,7,9,10 погрешность построения не превышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%.

Ещё в XV в. великий художник Леонардо да Винчи (1452-1519), установил соотношение между стороной многоугольника и апофемой:
аn/2 : ha =3/(n-1), которое можно выразить так: tg180°/n =3/(n-1).


tg(180/7)=0.5 или 0.48~0.5
Погрешность рассчитайте сами...

[lllpetrlll]

tayna, Странные вещи творятся в этом мире! Вы своей рукой делите окр. на 7 частей,а потом ссылаетесь на Гаусса! Я же спрашиваю:" Откуда берется число 4,3388....?" Кроме способа через 1,корень из 2-х,корень из 3-х есть еще способ деления через высоту 6-ти угольника. Деление на 7 происходит очень точно с первого раза при условии,что не дрожжит рука.Кроме того, 7 порождает 9 и 9-ти угольник строится практически сразу с первого раза.Числовая величина его - 3,418679513479116.....,а не 3,420....как общепринято. И исходя из логики построения 5-угольника,который тоже нечетный,как и 7-ми уг-к,следует,что окружность можно поделить при помощи циркуля и линейки на 7,9 частей. На 5 частей делил Эвклид - не Гаусс,а деление на 5 и 7 сходно: в обеих случаях сначала делится диаметр на 4 части.

[tayna]

Сообщение от lllpetrlll

Откуда берется число 4,3388....?

Про 4,3388 не знаю. В мат. таблицах число 0,43388... для правильного 7-угольника: sin(180/7)= 0,43388.
Это хорда (отрезок соединяющий две точки окружности) при Dокр=1.
Для правильного 9-угольника:sin(180/9)= 0,34202...
Как Вы рассчитали: 4,330127018922193... и 3,418679513479116...?

[lllpetrlll]

tayna, Для того,чтобы видеть,что я строю,я взял диаметр 10. Отсюда эти числа. Числа отношения-это хорды при диаметре 1,умноженные на 10. Днем ранее я забыл отписать на приведенный рис. на деление окр.на любое ко-л частей.На рис.диаметр поделен на 7 частей. Но на 7 частей диаметр строго, путем построения, можно поделить только поделив его на 10 частей тоже строго путем построения соответствующих хорд.Произвольное деление методом тыка ,согласно Гауссу,несет в себе 1-процентную погрешность.И тем не менее, 1/7=0,142857.....И это есть реальный,подверженный измерению отрезок,хотя он и бесконечно-периодичен.Что бы сказали на то,что ,к примеру,можно построить диаметр окружности с любой степенью точности из корня 1.3333333333......?Это бесконечная непериодическая дробь, как и корень из 75/7,т.е. 4.330127018922193....

[tayna]

Деление окружности на n равных частей.
Приближенный способ с погрешностью 0,01R.
В примере окружность делится на 9 равных частей.
1. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра.
2. Один диаметр, делим на n равных частей (в примере на 9).
3. Из любого конца этого же диаметра как из центра проводим дугу радиусом 2R. Пересечение дуги с продолжением диаметра дает точки N и M.
4. Проводим из точек N и M прямые линии через четные или нечетные точки деления диаметра. Пересечение этих линий с окружностью даст точки деления окружности.

Если диаметр кратен n (в нашем примере 9), то дополнительную прямую кратную n. И далее применение теоремы Фалеса о параллельных прямых не обязательно.
Вся проблема в погрешности возникает в делении ЕДИНИЦЫ (или диаметра) на n.
1/9=0,1111111... или =0,(1)
1/7=0,(145827)
В числах мы получаем погрешность, но при построении она исчезает.

[tayna]

Сообщение от lllpetrlll

Что бы сказали на то,что ,к примеру,можно построить диаметр окружности с любой степенью точности из корня 1.3333333333......?Это бесконечная непериодическая дробь, как и корень из 75/7,т.е. 4.330127018922193....

Не совсем понятно.
По заданному диаметру всегда можно построить окружность.
Главное построить диаметр.
Но длина окружности может быть вычислена тоже только с погрешностью числа П ( 3,1415926 < П < 3,1415927).
Лучшая числовая дробь П=355/113.

Интересная формула: П=n * sin (180/n). Чем больше n, тем вычисление П точнее.

[Michael]

В формуле лучше n*sin(Pi/n) писать.

[lllpetrlll]

tayna, Вы меня не поняли.Я сказал,что можно построить диаметр, числовая величина которого есть ,на момент построения, бесконечная непериодическая дробь с любой степенью точности без всяких погрешностей только путем геометрических построений. Относительно длины окружности(не периметра) - она равна 22/7.Сама периодичность этого числа говорит об окружности.Периметр же состоит из прямых линий.Прямая же,как ее не дели -останеся прямой и никогда не станет дугой. Поэтому вводить в вычисления Pі там,где оно необходимо-некоректно т.к. сразу возникает погрешность. Следует пользоваться числом Архимеда т.е. 22/7. Но официальная наука не желает найти доказательство этого утверждения(а оно есть и очень простое) и пользует сумму прямых вместо дуги.Разница есть ,если двигаться по прямой или по окружности? Еще относительно невозможности.Все - возможно! Так учат Великие Учителя . Лишь ограниченное сознание отрицает возможности. Еще раз прошу,если у Вас есть возможность-найдите мне источник ,в котором конкретно указывается ,как получается число 4338837....или ,если угодно 0,4338837....Ваш пример построения для деления окр. на 9 частей известен.Он грешит погрешностью. И нет числовой величины хорды.

[tayna]

Сообщение от lllpetrlll

... корень из 75/7,т.е. 4.330127018922193....

Это как подсчитано???

КОРЕНЬ(75/7)=КОРЕНЬ(10,7142...)=3,2726835...

[lllpetrlll]

tayna, по поводу корня 75\7.Это ошибка, следует писать :корень из 75\2.Это число 4,330127018922193.....,т.е. это то число,которым Вы оперируете,когда в приведенном Вами примере Вы при помощи циркуля делите окружность на 7 частей,а потом утверждаете,что оно равно 4,338837....(0,4338837...). Вы,часом ,не обнаружили источник происхождения этого числа? Это очень важно т.к. sin 25,7142857градусов равен 0,4330127018922193......,а не 0,4338837...при условии,что я делю окружность тем способом,который указали Вы,но проверяю найденными мной еще некоторыми другими.Один из них я Вам описал.Повторю: Строите окружность диаметром 11,54700538379251....и вписываете в нее 7-угольник со стороной а=5.Диаметр окружности - это корень из 1,3333333333....умнож. на 10.Если построить диаметр окр.=2,309401076758502,то без всяких погрешностей строится 7-ми угольник со стороной 1.