Учение Живой Этики и математика

[Эльдар]

(продолжение)

Рассмотрим теперь другой род бесконечности, - бесконечность актуальную. С этой целью мы возвращаемся к нашему исходному пункту, к понятию quantum'a, именно, quantum'a постоянного, и содержание этого понятия константы обогатим новым признаком. Некоторая константа может быть такова, что она стоит в ряду других констант того же рода, т.е. больше одних конечных констант и меньше других. Тогда она и сама будет конечной. Но может случится, что она не стоит в ряду других постоянных, потому что она больше всякой конечной константы, как бы великой мы её ни взяли. Тогда мы скажем, что наш quantum есть актуальная бесконечность, бесконечность in actu, actualiter, а не только in potentia.
Так, например, в диалоге "Бруно" Шеллинг блестяще вскрывает, что каждое понятие есть бесконечность, потому что объединяет собою множество представлений, которое не является конечным; но так как объём понятия, по существу дела, вполне определён и дан, то эта бесконечность не может быть ничем иным, кроме актуальной бесконечности. Всякое суждение, всякая теорема носят в себе актуальную бесконечность, и в этом - вся сила логического мышления, как указал ещё Сократ.
Возьмём примеры более конкретные. Например, обращаясь к пространству, мы можем утверждать, что все точки внутри некоторой замкнутой поверхности образуют множество актуально бесконечное. В самом деле, каждая из них вполне определена, значит и все - тоже вполне определены; но однако число их превосходит всякое из чисел ряда: 1,2,3,...,n,... и больше каждого из этих чисел. В этом же смысле мы можем сказать, что могущество Божие актуально-бесконечно, потому что оно, будучи определённым(в Боге нет изменения), в то же время больше всякого конечного могущества.
Очень ярко выражант мысль об актуальной бесконечности автор книги "О небесной иерархии", книги, приписываемой св. Дионисию Ареопагиту: "И то, по моему мнению, - говорит он, - достойно тщательного размышления, что говорит писание об Ангелах, то есть, что их тысячи тысяч и тьмы тем, умножая на самих себя числа, у нас самые высшие. Через сие оно ясно показывает, что типы небесных существ для нас неисчислимы; потому что бесчисленно блаженное воинство премирных умов. Оно превосходит малый и недостаточный счёт употребляемых нами чисел, и точно определяется одним премирным их разумением".
В здесь рассмотренном понятии актуальной бесконечности не трудно узнать то, что у древних было известно под именем [афорисменон(греч.)], у схоластиков - под именем kategorematice infinitum, у новых философов - положительной, собственной бесконечности. Как выражается Гёте, "это - замкнутая бесконечность, более соответствующая человеку, чем звёздное небо", причём последнее, конечно, разумеется именно как некоторая возможность устремляться всё далее и далее, никогда не будучи в состоянии произвести синтез и успокоится на целом.
Тут мы сталкиваемся с новым соображением. Чтобы была возможна потенциальная бесконечность, должно быть возможно беспредельное изменение. Но, ведь, для последнего необходима "область" изменения, которая сама уже не может меняться, т.к. в противном случае пришлось бы потребовать область изменения для области и т.д. Она, однако, не является конечной и, следовательно, должна быть признана актуально-бесконечной. Следовательно, всякая потенциальная бесконечность уже предполагает существование актуальной бесконечности, как своего сверхконечного предела; всякий бесконечный прогресс уже предполагает существование бесконечной цели прогресса; всякое совершенствование бесконечное требует признания бесконечного совершенства. Отрицающий актуально-бесконечное в каком бы то ни было отношении тем самым отрицает и потенциальную бесконечность в том же отношении, и позитивизм несёт в себе элементы собственного разложения, - так сказать, с позитивизмом происходит самоотравление продуктами его же деятельности.

[Эльдар]

(окончание)

По раскрытому выше определению актуальной бесконечности можно заключить, что такая бесконечность может быть мыслима в двух модификациях. Во-первых, будучи более всякого конечного quantum'a, она сама может оказаться не имеющей другого quantum'a, тоже бесконечного, который был бы больше её; другими словами, тут она оказывается неспособной быть меньше чего-либо другого. Это - актуальная бесконечность, не способная к увеличению, абсолютный максимум; как вообще, так и у Г.Кантора, он называется Absolutum. Во-вторых, - и этого не замечали говорившие о бесконечности- , из определения актуальной бесконечности вытекает возможность второго её видоизменения. Актуальная бесконечность, именно, может тут иметь над собою другие quanta, большие её самой; тогда она будет способна к увеличению, будет увеличиваемою актуальною бесконечностью. Чтобы избегнуть раз и навсегда путаницы слов и длиннот, Кантор даёт ей название сверх-конечности, Ueberendlichkeit.
От этих формальных соображений перейдём к реальным. С актуальной бесконечностью мы сталкиваемся или, по крайней мере, можем надеяться на столкновение в трёх различных областях. Во-первых, поскольку это актуально-бесконечное реализовано в высшем совершенстве, во вполне независимом, вне-мировом бытии, одним словом - in Deo sive natura naturante, причём последнее выражение Кантор понимает не в смысле пантеизма, а в том первоначальном смысле, который придали ему Фома Аквинский и другие богословы. Здесь бесконечное является абсолютным максимумом и есть то самое, что ранее было названо Absolutum или абсолютной бесконечностью. Во-вторых, актуально-бесконечное может быть предположено in concreto, в зависимом мире, в твари, in natura naturata. Тут Кантор называет её Transfinitum. Наконец, в-третьих, актуально-бесконечное может быть in abstracto, в духе, поскольку он имеет возможность познавать Transfinitum в природе и, до известной степени, Absolutum в Боге. В этом последнем случае бесконечность получает название символов бесконечного. В частности, если дело идёт именно о познании Transfinitum, эти символы получают название трансфинитных чисел и трансфинитных типов. Два последних вида бесконечности являются бесконечностями увеличиваемыми.