[Сергей Мельников]

Сообщение от Анатолий

Дробная размерность...
Как ее измерить?
Означает ли это невозможность точного задания положения тела в пространстве при помощи трех чисел?

Как измерить дробную размерность? Можно, действительно, что-то в Интернете найти. Или в книгах. Про Колмогорова, Фомина не уверен, что там это есть (но точно не буду утверждать, надо смотреть), немного об этом есть, например, в книге: Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. М.: Изд-во МГУ, 1998, с.195-200.
При помощи трёх чисел точку такого множества не задать, нужно, по крайней мере, четыре числа.

А, вообще, идея с нецелочисленными размерностями любопытна. Единственно что, такие пространства локально будут устроены не так «хорошо», как евклидово пространство (но, может, реальный мир именно таков?) и как справедливо заметил incognoto, они будут вложены в пространства с большей целочисленной размерностью (кстати, вопрос – с какой размерностью? Теорема Уитни о вложении многообразий здесь неприменима, поэтому, возможно, размерность объемлющего пространства будет и не очень большой).
Кроме того (и это, возможно, будет сильным ограничением для модели пространства Вселенной), размерность Хаусдорфа определена для компактов в метрических пространствах (т.е. для замкнутых и ограниченных множеств).

Можно попробовать построить пример множества, имеющего размерность Хаусдорфа, равную ПИ, следуя алгоритму построения канторова множества или ковра Серпинского, только начинать, видимо, нужно с четырёхмерного куба.

Статья П.Эренфеста:
Ehrenfest P. In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions? – “Proc. Amsterdam Acad.” 1917, v.20, p.200-209.
П.Эренфест «Каким образом в фундаментальных законах физики проявляется то, что пространство имеет три измерения?»
На русском языке впервые опубликовано как приложение в книге: Горелик Г.Е. Размерность пространства: историко-методологический анализ. М.: Изд-во МГУ, 1983, с.197-205.