Старый 01.01.2007, 17:38   #13
Эльдар
 
Рег-ция: 30.12.2006
Сообщения: 1,194
Благодарности: 26
Поблагодарили 40 раз(а) в 35 сообщениях
По умолчанию


Заметки об интуиции и формализации в математике


"...На первых порах своеобразие методов,которыми приходилось действовать в новой области,воспрепятствовало тому,чтобы полученные здесь результаты были изложены в традиционной дедуктивной форме,типичной для элементарной геометрии.
Происходило нечто совсем иное: так,Пуанкаре,делая смелые шаги вперёд,был вынужден широко и откровенно опираться на геометрическую интуицию.Даже в наши дни изучающий топологию явственно ощущает,что при слишком большой заботе о формальной безупречности существенно геометрическое содержание упускается из виду и тонет в массе деталей.Впрочем,как бы то ни было,нужно рассматривать как особое достижение то обстоятельство,что самые недавние работы по топологии включили эту отрасль геометрии в круг вполне строго построенных математических дисциплин,для которых интуиция была и остаётся источником,но не конечным критерием истины.По мере развития процесса "формализации" топологии,идущего от Л. Э. Я. Б р а у э р а,удельный вес топологии по отношению к математике в целом непрерывно возрастал.Существенные успехи в указанном направлении принадлежат американским математикам,в частности,О.Веблену,
Дж. У. А л е к с а н д е р у и С. Л е ф ш е т ц у."
( статья о топологии из книги "Что такое математика"-Р.Курант,Г.Роббинс )



"...при первых шагах в неизведанной области идеал безупречной строгости вовсе не обязателен и даже мало желателен..."
( статья о топологии из книги "Что такое математика"-Р.Курант,Г.Роббинс )



"...В общих чертах аксиоматическая точка зрения может быть охарактеризована следующим
образом.Доказать теорему в некоторой дедуктивной системе - значит установить,что эта теорема есть необходимое логическое следствие из тех или иных ранее доказанных предложений;последние в свою очередь должны быть доказаны и т.д. Процесс математического обоснования сводился бы,таким образом,к невыполнимой задаче "бесконечного спуска",если только в каком-нибудь месте нельзя было бы остановиться.Но в таком случае должно существовать некоторое число утверждений - постулатов,или аксиом,которые принимаются в качестве истинных и доказательство которых не требуется.
Из них можно пытаться вывести все другие теоремы путём чисто логической аргументации.Если все факты некоторой научной области приведены в подобного рода логический порядок,а именно такой,что любой из них "выводится" из нескольких отобранных предложений(предпочтительно,чтобы таковые были немногочисленны,просты и легко усваивались),то тогда есть основание сказать,что область представима в "аксиоматической форме" или "допускает аксиоматизацию".Выбор предложений в широкой степени произволен.Однако мало пользы,если наши постулаты недостаточно просты или если их слишком много.Далее,система постулатов должна быть
совместимой(непротиворечивой) в том смысле,что никакие две теоремы,которые из них могут быть выведены,не должны содержать взаимных противоречий,и полной в том смысле,что всякая теорема,имеющая место в рассматриваемой области,из них может быть выведена.Желательно также,чтобы система постулатов была независимой ,т.е. чтобы ни один из них не был логическим следствием остальных..."

( из книги "Что такое математика"-Р.Курант,Г.Роббинс )


N.B. При аксиоматизации некоторой научной области ,т.е при постройке фундамента из постулатов,нужно обязательно доказать:

1.Непротиворечивость системы постулатов
2.Полноту системы постулатов
3.Независимость системы постулатов

К примеру,в своей знаменитой книге "Grundlagen der Geometrie"(первое издание ее появилось в 1899 г.) Д. Г и л ь б е р т дал вполне удовлетворительно построенную систему
аксиом геометрии и вместе с тем произвел исчерпывающий анализ их взаимной независимости,их непротиворечивости и полноты.


"...Аксиоматический подход к предмету математики - самый естественный способ разобраться во всех хитросплетениях взаимосвязей между различными фактами и выяснить
закономерности логического строения объединяющих их теорий.Не раз случалось,что такое
сосредоточение внимания на формальной структуре,а не на интуитивном смысле понятий,
облегчало отыскание обобщений и применений,которые легко было бы упустить при более интуитивном подходе к делу.Но выдающиеся открытия и подлинное понимание лишь в исключительных случаях оказывались результатом применения чисто аксиоматических методов.Подлинный источник развития математики - это творческая мысль,
поддерживаемая интуицией.И если даже считать аксиоматизацию тем идеалом,к которому стремится математика,было бы непростительной ошибкой уверовать в то,что аксиоматика сама по себе является сутью математики.Творческая,конструктивная интуиция математика привносит в математику недедуктивные и иррациональные моменты,уподобляющие её музыке или живописи..."
( из книги "Что такое математика"-Р.Курант,Г.Роббинс )
Эльдар вне форума  
Показать ответы на данное сообщение Ответить с цитированием Вверх