[Эльдар]

Прогноз развития математической физики и её приложений до 2030 г.

Математическая физика со времён Ньютона и Максвелла занимается разработкой
математических моделей естественных процессов и их исследованием, включая
в последнее время не только физические, но также химические, биологические,
информационные процессы.

Основным методом в математической физике является составление и исследование
дифференциальных уравнений в частных производных, как для классических функ-
ций, так и для операторнозначных, включая уравнения квантовой теории поля.
При этом используются разнообразные методы функционального анализа, комплекс-
ного анализа, дифференциальной геометрии, теории вероятностей, алгебраической
геометрии, теории чисел, теории алгоритмов.

Исследования по математической физике в России традиционно, включая и последнее
время, ведутся на самом высоком международном научном уровне. У нас в стране
созданы научные направления, признанные в мировой науке: в теории функциональных
пространств, краевых задач, теории уравнений переноса, в квантовой теории поля,
теории классических и квантовых интегрируемых систем, теории особенностей, квази-
классических и других асимптотических методов, квантового управления и др.

Ожидается, что в ближайшие десятилетия будет происходить как исследование традици-
онных важных задач математической физики, включая нерешённые проблемы в теории
краевых задач для классических и квантовых уравнений на многообразиях с особеннос-
тями(в том числе проблема потери информации при хокинговском испареннии черных дыр),
исследование решений гидродинамических уравнений Навье-Стокса, известная проблема
удержания кварков в теории калибровочных полей, развитие математического аппарата в
теории суперструн, теория интегрируемых систем и другие, так и разработка новых направ-
лений, связанных с развитием био-, нано-, информационных, когнитивных технологий, кото-
рым в последние годы уделяется особое внимание. Разумеется, разработка новых направ-
лений будет опираться на накопленный за многие годы огромный объём результатов и идей
в математической физике и других разделах математики.

Подчеркнём важность исследований фундаментальных проблем в теории наносистем.
Отметим следующие фундаментальные проблемы в теории наносистем, в решение которых
российские специалисты по математической физике могут внести важный вклад. Проблема
необратимости. Именно на наномасштабах происходит переход от обратимого по времени
поведения решений уравнений микроскопической динамики(Ньютона, Шредингера) к необра-
тимому поведению решений макроскопических уравнений(Больцмана, Навье-Стокса и др.).
Российские математики разработали методы, адекватные для решения этой проблемы, в
частности метод слабого предела, метод стохастического предела и др.

Эти методы могут быть использованы также для исследования важных для приложений задач
теории переноса в наносистемах. Здесь требуется обобщение существующих кинетических
и гидродинамических уравнений с тем чтобы учесть особую роль вязкости и поверхностного
натяжения.

Важными проблемами, которые будут исследоваться, являются исследование переходного
режима в наносистемах от квантового описания на микроуровне к классическому описанию
на макроуровне; задачи квантовой теории информации; процессы самоорганизации в наносис-
темах, в том числе для белковых молекул.

В качестве нового, прорывного направления исследований укажем также на разработку мето-
дов р-адического и ультраметрического анализа для применений в математической физике.
Вместо традиционного подхода, когда в основу построения моделей естественных процессов
кладутся вещественные числа, здесь используются р-адические числа, что оказывается
более эффективным при описании ряда сложных систем, имеющих иерархическую структуру,
включая наносистемы. Это направление было первоначально создано в Математическом
институте им. В.А. Стеклова РАН и сейчас активно развивается во многих странах. Уже полу-
чены первые интересные и обещающие приложения этих методов для описания динамики
белковых молекул и для некоторых задач в когнитивных исследованиях.

Чл.-корр. РАН И.В. Волович,
И.о. заведующего Отделом математической физики
Математического института им. В.А. Стеклова РАН