[Эльдар]

Сообщение от DEI

Немного истории.
Квадратный корень присутствует в точном аналитическом выражении з.с., а не в выражении для члена ряда Ф. То есть, поскольку "божественная пропорция" строится при отношении А/В = В/ (А+В),
откуда решая кв. уравнение при В=1 (можно и при А+В=1),
А^2 + A - 1 = 0, находим корни
А1=[-1+sqrt(5)]/2 ,
А2= [-1-sqrt(5)]/2 .
А ряд Ф. только приближает значение в формуле отношения ближайших членов A(N+1)/ A(N)--> з.с., где A(N+1)= A(N)+A(N-1)...
(Например, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13,..., что дает отношения 8/5, 13/8, )
---
Интересный, но частный факт.

DEI, попробуйте решить уравнение f(n+1)=f(n)+f(n-1) с начальными условиями f(0)=f(1)=1, то есть попытайтесь получить общую формулу для ряда Фибоначчи. Тогда вы увидите, что

f(n)=1/R*( ((1+R)/2)^n - ((1-R)/2)^n ),

где R - квадратный корень из пяти. Кстати, с помощью этой формулы вы можете строго показать, перейдя к пределу, что f(n+1)/f(n) стремится к золотому сечению.
Эту формулу можно вывести разными способами: с помощью т.н. характеристических функций, с помощью экспоненциальной подстановки, с помощью матриц, и т.д.